Primera Clase - Factorizacion Casos de Factor Cómun

FACTOR COMÚN

La factorización es uno de los procesos fundamentales del álgebra.
Su relevancia es tan importante como lo son las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división.

Hay varios casos de factorización...

1. Factor Común.
2. Factor Común por Agrupación de Términos.
3. Trinomio Cuadrado Perfecto.
4. Diferencia de Cuadrado Perfecto.
5. Trinomio Cuadrad Perfecto (Adición y Sustracción).
6. Trinomio de la Forma x2 + bx + c
7. Trinomio de la Forma ax2 + bx + c
8. Cubo perfecto de binomios.
9. Suma o diferencia de cubos perfectos.
10. Suma o diferencia de dos potencias iguales.

TRABAJO DE FACTOR COMÚN 

                

Primero: Descomponemos en factores cada término del polinomio:constantes y variables.

Segundo: Miramos si hay algún factor que sea común a todos los Términos.

Tercero: Sacamos los factores comunes fuera del paréntesis y los escribimos una sola vez.

Cuarto: Encerramos en paréntesis los factores que no sean comunes.

Factorizar: 

2x2 y2- 18x2y + 6x2

= x 2. y2) + ( 2 .-9. x2 . y) + ( 2 . 3. x2)

= 2x2 (y2 - 9y + 3)

Casos de Factor Común.

1. Factor común entre los números...

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d) 

El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números. 

2. Factor común entre letras...

El factor común es x2.: La x elevada a la menor potencia con que aparece. 

3. Factor común entre los números y entre las letras...

El factor común es 4x3: El MCD entre los números y la x elevada a la menor potencia.

4. Factor común con fracciones...

El factor común es 5ab2/2 : El MCD del numerador sobre el MCD del denominador, y la a y b a la menor potencia.

Factor Común por Agrupación de Términos.

La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupan tengan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro del paréntesis después de sacar al factor común en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo la expresión dada no se puede componer por este método.

EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)

4a + 4b + xa + xb =

4.(a + b) + x.(a + b) =

(a + b).(4 + x)

Explicación: Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).

EJEMPLO 2: (Cuando parece que no se puede aplicar el caso, pero se puede)

Explicación: Parece que no se pudiera aplicar el caso, porque entre la x y el 1 que quedaron no hay Factor Común. Sin embargo el caso se puede aplicar, sólo se trata de saber reconocer la situación. En el paso 2 es donde se vislumbra la posibilidad de usar el caso, por el resultado que dio la primera agrupación:
 (x - 1), que es igual a lo que quedó sin agrupar.

Factor Común de un Trinomio Cuadrado Perfecto.

Regla para reconocer un Trinomio Cuadrado Perfecto

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercero términos son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada) y positivos. y el segundo término es el doble de sus raíces cuadradas.

Regla para factorar un Trinomio Cuadrado Perfecto.

Se extrae la raíz cuadrada la primer termino y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término, el binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por si mismo  o se eleva al cuadrado.

Siempre tenemos que bajar el signo del segundo término para que el resultado sea exacto sin multiplicar solo bajarlo.

Factor Común de una Diferencia Cuadrados Perfectos.

Regla para reconocer una Diferencia de Cuadrados Perfectos.

·        Tienen dos términos.

·        El signo que los separa siempre es menos.

·        Las potencias de las letras están elevadas con números pares 2, 4, 6…

·        Tiene raíz cuadrada exacta el segundo término.

Regla para factorizar una Diferencia de Cuadrados Perfectos.

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.

Caso Especial I.

La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrados en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas.

En este caso tenemos que la raíz cuadrada del primer término es 6x y la del otro termino es (a+3x). Seguimos con el mismo proceso de uno con signo positivo y otro negativo; al final multiplicamos signos y simplificamos si es posible.

Factor Común de un Trinomio Cuadrado Perfecto por Sustracción y Adición.

Existen algunos trinomios, en los cuales su primer y tercer  términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada  exacta), pero su segundo términos no es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Para comprobar si es o no un trinomio cuadrado perfecto se hace la comprobación.

El doble producto de la raíz del primer término por el segundo término.

Ejercicio en clase:

Factor Común de un Trinomio del Forma x2 + bx + c.

Características de este Trinomio:

Este tipo de trinomio tiene las siguientes características

•  Tienen un término positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1 (coeficiente).

• Posee un segundo término que tiene la misma letra que el termino anterior pero elevada a      1 (bx) (puede ser negativo o positivo).

• Tienen un término independiente de la letra que aparece en los otros dos (+ o -).

Reglas para factorizar esta forma de Trinomio:

• Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada del término raíz cuadrado.

• El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.

• Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores binomios.

• Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el segundo término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el segundo término del segundo factor binomio.

Ejercicios en clase:

Casos Especiales:

Factor Común de un Trinomio de la forma ax2+bx+c.

Son trinomios que se diferencia del trinomio visto anteriormente porque su primer término tiene un coeficiente distinto a 1.

Pasos para descomponer:

Ejemplos:

Diferente forma para realizar el factoreo.

Casos Especiales.

• Para factorar cada término de cada binomio, descomponemos el divisor que es 20 y seria igual a 5*4.
• Luego proseguimos a simplificar para una respuesta mas corta.

Factor Común de un Cubo Perfecto de Binomios.

Regla para reconocer un Cubo Perfecto:

Este vídeo te ayudará a entender como factorar este caso. 

Factor Común de una Suma o Diferencia de Cubos Perfectos.

La suma de 3 cubos perfectos se descomponen en 2 factores:

1. La suma de sus raíces cúbicas.
2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

1. La diferencia de sus raíces cúbicas.
2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Factor Común de una Suma o Diferencia de Dos Potencias Iguales.

Para  desarrollar estos tipos de caso se toma la siguiente regla:

Pasos para realizar la operación...

1. Clasificar la expresión en positiva o negativa, y en par o impar (si son positivas y pares no se pueden realizar por este método).

2. Se sacan las raíces de cada termino.

3. Se coloca el primer factor el cual es un binomio cuyo primer termino es la raíz del primer termino dado y el segundo termino es la raíz del segundo termino dado.

4. El signo del primer factor (binomio) será el mismo que tiene la expresión dada.

5. Se crea el segundo factor (un factor polinomio) en el cual existirá un número de términos igual al exponente de la expresión dada (los siguientes pasos son solo para el segundo factor).

6. En cada término se multiplicara el término de la izquierda por el término de la derecha de la expresión dada

7. En el primer término del factor polinomio el factor de la izquierda tendrá un exponente igual a “n – 1”, y el factor derecho tendrá un exponente de cero.

8. Para los exponentes de los siguientes términos, en el caso del factor de la izquierda irán disminuyendo en una unidad, y los del termino de la derecha irán aumentando también en una unidad (si se suman los exponentes de los dos términos siempre será igual a n-1).

9. Si el binomio es negativo todos los términos del polinomio son positivos, si el binomio es positivo impar los signos del polinomio se alternarán (+ ó –) comenzando por el “+”.

10. Cuando en el polinomio, el exponente del termino de la derecha sea igual a n-1 damos por terminada la respuesta.